Два типа инверсионных осей и их предельные симметрии

Исходное сопоставление типов предельных симметрий Кюри  с осями симметрии выявило недостатки нынешних представлений об инверсионных осях. В статье впервые выделено два типа инверсионных осей, каждый из которых охватывает все существующие порядки осей – от единичного до шестерного в кристаллической системе и их полное числовое множество в общей теории симметрии. Показано, что любая неполярная ось сопровождается инверсионной осью одного из двух указанных типов. Эти типы отделяются друг от друга четко и однозначно по наличию/отсутствию центра симметрии. Для них обоих указаны возможные виды предельных симметрий Кюри.

===============================

УДК 548.124

Два типа инверсионных осей и их предельные симметрии

© 2024 г. Б. Левин  Израиль
Поступила в редакцию журнала “Кристаллография” 04.09.2024 г.
В публикации отказано 17.10.2024 и вторично 23.10.2024

Введение.

Ныне используемая система видов предельной симметрии Кюри (1,2) успешно охватила осевые группы симметрии кристаллов, а если сказать точнее, то все осевые группы с простыми поворотными осями. Но вот на кубической сингонии она несколько притормозила, а группы с инверсионными осями и вообще практически еще не получили связи с предельными симметриями (3-5).

В статьях (4, 5) введены и некоторые новые виды предельных симметрий – шаровые и осевые. Стоит присмотреться к последним – не подойдут ли они для кристаллических групп с инверсионными осями.

Эти новые виды, вкупе с известными и ранее, были там сведены в единую таблицу, и здесь она воспроизводится в несколько модернизированном виде – с обозначениями строк и столбцов таблицы (рис.1), и с добавлением соответствующих им форм движений по А.В.Шубникову (2, 6).

В свете поставленной здесь задачи стоит присмотреться в этой таблице к нововведенным видам осевой предельной симметрии – конкретно, к тензорам. Но для начала необходимо разобраться в содержании самого понятия “инверсионная ось” – как она определяется и какой объем охватывает. Потому начнем с основ, преподаваемых студентам.

О вводе понятия “инверсионная ось” в учебниках кристаллографии.

Вот, к примеру, определение объекта нашего внимания (7, стр.36): “Инверсионная ось симметрии представляет собой сочетание оси вращения и одновременного отражения (инверсии) в центре симметрии”

Затем в том учебнике идет рисунок фигуры типа четырехгранной призмы, но завершающейся не пинакоидами, а двумя диэдрами, развернутыми друг к другу на 90°, так, что продолжения сторон тех диэдров поверх граней призмы приведут в конечном итоге к фигуре тетраэдра. И в подписи к рисунку снова повторяется про центр симметрии, в котором необходимо отразить грани для совмещения их после поворота по оси инверсии. Вот тут и выступает противоречие – у той изображенной фигуры просто нет центра симметрии.

Чуть ниже следует информация как бы именно об этом: “Обратим внимание на то, что у этого многогранника нет ни оси 4, ни центра симметрии”, что напрямую перечеркивает дважды повторенное до того. Но уже в следующем предложении снова поминается этот злополучный “центр симметрии”. В результате остается совершенно неясным – как разрешить этот парадокс, как инвертировать относительно центра симметрии, которого и вообще нет.

И такая неразбериха – не прокол данного конкретного учебника, это явление повсеместное. В доказательство тому вот аналогичный пример, и даже несколько расширенный, в другом учебнике (8). Из него стоит привести цитату в несколько строк (с его стр. 33-34), в которой это же противоречие повторяется не единожды. В ней здесь сохранены выделения, фигурирующие там, а сверх отмеченного в учебнике добавлено только несколько подчеркиваний мест о центре симметрии (инверсии) – исключительно для концентрации внимания на них в этой немаленькой цитате:

“… в кристаллах встречаются так называемые инверсионные оси симмempuu (L_in) , которые являются составными из двух операций — вращения вокруг оси и последующего (или предварительного) отражения в центре инверсии.

Примером хорошо известной фигуры с инверсионной осью симметрии 4 порядка является молочный пакет (рис. 16). Если повернуть его на 90° вокруг прямой, проходящей через середины склеек и после этого провести операцию отражения в центре инверсии, пакет самосовместится (рис. 16, б). Инверсионные оси разных порядков могут быть приравнены к другим отдельным или составным элементам симметрии. Так, очевидно, что инверсионная ось 1 порядка равнозначна центру инверсии, второго порядка – перпендикулярной к ней зеркальной плоскости симметрии, третьего порядка — тройной оси вращения и дополнительного центра симметрии, шестого порядка — тройной оси вращения с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии. И только инверсионная ось 4 порядка является самостоятельным элементом симметрии. Следует обратить внимание на то, что кристаллы с инверсионной осью четного порядка не обладают центром инверсии, как отдельным элементом симметрии”

И к этому еще такая подпись под указанным в тексте рисунком, изображающим молочный пакет в форме тетраэдра:

“Рис. 16. Молочный пакет (а); вращение на 90° вокруг оси 4 (пунктир) и последующее отражение в центре симметрии О (б )”

Итак, три раза, буквально один за другим, следуют установки относительно чего должна происходить операция отражения: дважды в тексте (в определении, и еще в описании рисунка) сказано – в центре инверсии, и один раз (в подписи к тому же рисунку) – в центре симметрии, что с очевидностью понимается как два синонима одного и того же элемента симметрии. Да и точно так же оба синонима вместе употребила Шаскольская (7) в своем определении инверсионной оси, цитированном выше.

А вот в конце цитаты, приведенной из (8), вдруг проясняется (и особо при этом выделено), что при четных осях инверсии никаких центров инверсии не имеется. Так относительно чего же тогда обращать фигуру в таких ситуациях? И тут тоже на этот естественный вопрос ответа не дается. Там же об этом есть и детальней – в средней части приведенной цитаты перечисляются пять порядков осей инверсии (от единичного до шестого, естественно, без пятерной оси), так центр симметрии (инверсии) указан только у двух из них – именно у нечетных.

И еще интересна предпоследняя фраза в цитате, к которой стоит присмотреться отдельно: “…только инверсионная ось 4 порядка является самостоятельным элементом симметрии”, и это, оказывается, потому, что остальные четыре, перед ней перечисленные, могут быть заменены более простыми элементами симметрии. Это тоже общее место во всех кристаллографических построениях, однако, даже всеобщее признание этого положения не уменьшает удивления от такой уникальности данной четверной оси, или конкретно – фигуры тетраэдра. Вопрос этот вполне серьезен, потому что наука должна работать с системой, а не с уникумом, и потому стоит все же попытаться выявить систему, включающую этот как бы уникальный объект, т.е. систему инверсионных осей, не сводящихся к операциям с простыми элементами симметрии.

Этим ниже и придется заняться в плане подхода к заявленной изначально задаче, просто потому, что подыскивать предельный аналог для единственного объекта – занятие бессмысленное. Предел всегда является завершением какого-то ряда, а не единицы чего-либо. Ну и другой вопрос, также требующий опережающего решения, – это проблема прямого противоречия в формулировках инверсионной оси. То есть, вопрос о путанице между центром симметрии (инверсии) и центром обращения такой оси.

Центр симметрии и центр при инверсионно-осевом преобразовании.

Вопрос, на который никак не отвечают учебники кристаллографии, а точнее, даже и не пытаются его поставить, звучит так: в чем же разница между центром симметрии и центром обращения инверсионной оси? И начинать, очевидно, надо с определений.

Центр симметрии это точка, делящая пополам отрезок, соединяющий точки-антиподы, при обязательном условии, что в исследуемой фигуре каждая точка имеет свою точку-антипода.[1] Соответственно, тогда и каждая линия, каждая поверхность (а в многогранниках – все грани и ребра) имеют свои антиподы. Ну а если в фигуре нет соответствия точек и их антиподов (пример – тетраэдр), то нет и центра симметрии.

С другой стороны, если в фигуре или вне ее выбрать какую-то точку как центр и относительно этого центра для каждой другой ее точки построить точку-антипод, то в общем случае получим зеркальное отражение исходной фигуры, но не плоскостно-зеркальное, а точечно- или же центро-зеркальное.[2] Эту точку обращения фигуры будем называть точкой инверсии.

В частном случае, когда инвертируемая фигура обладает центром симметрии, то и ее инверсия будет ее же абсолютным повторением, расположенным по другую сторону от точки инверсии. Зеркально-точечная инверсия при этом не отменяется – она просто тогда осуществляется в виде повторения, дубляжа исходной фигуры. И в этом частном случае, если точку инверсии сдвинуть прямо в центр симметрии, то фигура в процессе обращения (инверсии) останется сама собой в силу парности всех ее элементов.

А вот при отсутствии центра симметрии точечно-зеркальное отображение фигуры не может автоматически совместиться само с собой ни при каком положении точки инверсии. В таком случае точка инверсии, расположенная в геометрическом центре фигуры, приобретает особый статус не меньшего уровня, чем центр симметрии, четко отличаясь от такового по результатам своего действия. Обозначим ее как центр инверсии.

Отсюда следует определение: Центр инверсии – это точка, совпадающая с геометрическим центром фигуры, при обращении относительно которой фигура переходит в свое точечно-зеркальное подобие. Если центр инверсии сопровождается инверсионной осью, то он  находится посередине ее. Однако есть целые классы фигур без инверсионных осей, например, пирамиды – их полярные оси не сочетаются с инверсионными осями.

Итак, по данным формулировкам центр инверсии принципиально не может совпасть с центром симметрии, ибо при последнем вместо точечно-зеркального отражения получаем исходную фигуру.[3] Но вот выше, в цитате из (8), есть перечисление пяти инверсионных осей, так в двух из них эти два центра по сути совпадают (и то же самое фигурирует у разных других авторов и изданий). С этим несоответствием и предстоит разобраться.

Два типа инверсионных осей.

В вышеприведенных отрывках из обоих учебников одно и тоже противоречие – в определениях инверсионной оси есть отсылка к центру симметрии, а в иллюстрациях к этой оси центр симметрии отсутствует. Стоит, очевидно, развести две части противоречия в разные стороны, рассмотреть их порознь, но параллельно – для сравнения. И основываться при этом будем на определении инверсионной оси, аналогичном вышеприведенным из учебников, только без упоминания о центре симметрии, что б избежать тех противоречий. Инверсионная ось – это ось, которая после поворота фигуры на углы, определяемые ее порядком, и последующего (или наоборот – предварительного) обращения относительно своей центральной точки, приводит фигуру в ее первичное положение

То есть, абстрагируемся от характеристики центральной точки инверсионной оси – она может быть центром симметрии, а может и не быть им. И вот, в зависимости от того, имеется в этой точке центр симметрии, или его в ней нет, можно придти к выводу о наличии двух, принципиально отличных, систем инверсионных осей. Систему с центром симметрии обозначим здесь и далее как тип–s (симметрия), а другую – как тип–i (инверсия), и сравним их друг с другом. Для сравнения возьмем две фигуры с простыми поворотными осями второго порядка – тетраэдр и ромбическую призму, поставив обе на их ребра – для большей аналогичности сопоставления (рис 2-А,Б). Такое положение вызвано тем, что для лучшего визуального восприятия двойную ось тетраэдра полезно ориентировать вертикально и тогда он должен стоять на ребре. Для аналогии с ним и призму поставим на ребро, хотя все выводы по ней будут справедливы и при ее положении с опорой на основание.

Сходны эти фигуры тем, что у обоих есть простая ось 2-го порядка, и теперь проверяем их на присутствие так же еще инверсионной оси. Собственно, по тетраэдру наличие таковой общеизвестно, и более детально речь о нем пойдет ниже. А пока займемся призмой.

Повернем фигуру соответственно ее двойной оси на 180° – она, как и положено, совпадет сама с собой. Вторым этапом инверсионной оси является отражение в центре – здесь именно в центре симметрии. Проводим его – и, конечно, получаем снова совпадение. Условия наличия инверсионной оси выполнены, итог положительный, значит, такая ось здесь имеет место.

Результат кажется неожиданным, но факт остается фактом, и этот факт распространяется на все фигуры с такими осями четного порядка. Пример: поставим куб на ребро, повернем вокруг двойной оси, затем отразим в центре симметрии – налицо имеем тот же куб и в том же самом положении. Возьмем четырехгранную призму, проделаем обе операции уже с четверной осью и опять убедимся в сохранности той же самой призмы. Ну и шестигранная призма поведет себя аналогично, также как и все бипирамиды таких же осей.

Выглядит все это необычно, в кристаллографии инверсионные оси такого сорта в обычной практике не используются – просто не замечаются и не фиксируются. Да и понятно почему – здесь налицо дублирование операций с простыми элементами симметрии, и усложнять все введением понятия “инверсионная ось” просто незачем (вполне по “Бритве Оккама”: не создавай сущностей без необходимости).

Однако, во-первых, стоит повторить, что это все, вполне вписывается в определение инверсионной оси, приведенное несколько выше, а про определения из учебников и говорить нечего – они как раз именно про этот тип и только про него. Как это ни странно, но дело обстоит именно так – в тетраэдре и подобных ему телах попросту отсутствует центр симметрии, напрямую заявленный в тех определениях. А во-вторых, этот тип осей, хоть широко и не используется, все же как-то просочился в науку. Конкретно говоря, он присутствует в приведенном выше списке осей инверсии по их порядку из (8) – см. там позиции с отмеченным центром симметрии. И то же самое практически во всех учебниках.

Итак, согласно уже изложенному, пока что фиксируем: в фигурах с центром симметрии любая неполярная ось четного порядка, независимо от ее положения, является также инверсионной осью типа-s . На практике в ней нет необходимости, но это не отменяет ее наличие. Нечетные оси этого же типа тоже имеются, но в фигурах иного габитуса, и это будет показано далее.

Сопоставление двух типов инверсионных осей.

Дальше стоит присмотреться детальней к самим системам проявления инверсионных осей и того, и другого типа. Возьмем тот же тетраэдр (рис 2-А), обозначим его исходное положение цифрой 1. Первый шаг операции – это поворот вокруг оси на половину оборота обычной двойной оси в 180°, т.е. на 90°. Эту вторую его позицию обозначим цифрой 2. И далее второй шаг – собственно операция инверсии – вернет тетраэдр в исходное положение 1. Итак, операцию с инверсионной осью типа-i можно проиндексировать как (1-2-1), т.е. исходное и конечное положения идентичны (как и положено в операциях симметрии), при отличии от них промежуточной позиции.

Теперь обратимся к призме (рис 2-Б). Начинаем с ее исходной позиции (индекс 1), далее поворачиваем ее на ее же поворотный угол в 180° , и она остается сама собой, т.е. в прежней позиции (1). Затем проводим операцию инверсии через центр симметрии, и снова получаем то же самое положение (1). Итак, индекс всей операции обращения (1-1-1) – среднее положение не отличается от исходного и конечного положений, и этот индекс останется таким же для любых осей типа-s . Вот эти индексы и дают простую фиксацию различия инверсионных осей двух разбираемых типов.

А что будет, если попробовать подогнать индекс типа-s , под тип-i , т.е. изменить индексацию среднего положения? Попробуем повернуть призму, на рис. 2 по примеру тетраэдра только на половину угла поворота простой оси. При этом она встанет как бы перпендикулярно первичному положению, т.е., займет отличное от исходного положение (2), и далее проведем операцию обращения. При этом, конечно же, центр симметрии вступит в свои права и оставит ее в неизменности – в том же положении (2). Итак, во-первых, получили индекс (1-2-2), все равно отличный от индекса оси типа-i. А во-вторых (и главных), вообще никакого нужного эффекта не вышло – вместо того, что б конечная позиция совпала с исходной получили в результате совершенно другую позицию.

Для дальнейшего продвижения по этой теме сопоставим два разбираемых типа инверсионных осей непосредственно по рис 2.

1. Инверсионная ось в тетраэдре опирается на два, кристаллографически идентичные, но разнонаправленные отрезка, с углом между ними в 90°. А у призмы показанная здесь инверсионная ось опирается на два параллельных ребра фигуры. Ну и пара базопинакоидов, служащих опорами другой ее двойной оси (также, конечно, сопряженной с инверсионной осью типа- s), тоже ориентированы одинаково – имеют взаимно параллельные стороны (ребра).
2. Их различие в присутствии/отсутствии центра инверсии или центра симметрии показано прямо на рисунке.
3. Инверсионная ось типа-i удваивает позиции повторяемости простой оси. Конкретно в тетраэдре к двум поворотным позициям простой оси (в 180° и 360°) добавляются еще и две отличные от них позиции инверсионной оси – 90° и 270°. Далее будет показано, что для осей других порядков эта же закономерность полностью сохраняется. При инверс-осях типа-s никакого удвоения позиций повторяемости не происходит. Две позиции двойной инверсионной оси попросту совпадают с таковыми же простой оси. Та же самая система проходит и через оси всех других порядков.
4. Фигура с инверс-осью-i при ее повороте на половину поворотного угла простой оси переходит в свое точечно-зеркальное подобие, и именно в силу этого последующее отражение ее в центре инверсии возвращает ее в исходное положение. С инверс-осями-s такое невозможно – они должны сразу же поворачиваться на полный угол простой оси.
5. Сказанное выше (п.4) сокращенно отражено в индексах поворотных операций осей: индекс оси-i – (1-2-1), а оси-s – (1-1-1).
6. Процесс действия инверсионной оси типа-i никак не связан с основными элементами симметрии – простая ось не работает с углами поворота инверсионной оси, да и центр симметрии всегда отсутствует. А действие инверс-осей типа-s, наоборот, полностью заменяется операциями с обычными осями и центром симметрии.

Различие, указанное в первом пункте несколько относительно – для нечетных осей характеристика взаимоположения опорных граней, изменится на обратную (см. далее), хотя по факту и тут оси-i и –s будут в противоположных  позициях. А отличия по остальным пунктам неизменны и абсолютны.

Имеются и общие свойства у инверс-осей обоих типов, не отменяющие их различий. Для полноты описания их стоит обозначить:

1. Они всегда совпадают с простой осью, причем, только c неполярной. Совпадение с полярной осью для них обеих исключено.
2. Порядок инверс-осей обоих типов всегда точно такой же, как и порядок той простой оси, с которой они совпадают.[4]
3. Наконец, обе они вписываются в определение, приведенное выше. Впрочем, определения могут уточняться, и нет проблемы внести в них различия между этими осями. В частности, как уже сказано выше, определение из учебников точно характеризует тип-s и только его. Правда, тут может возникнуть вопрос вообще о необходимости учета этого типа-s вместе с его определением, но это уже вопрос второй. И ответ на него может зависеть от общего подхода – что принять за основу: (а) практическую необходимость (т.е. реальную применимость) или (б) чистую теорию, с ее тенденцией к максимальному охвату.

Распространенность инверсионных осей обеих типов.

Итак, уже показано, что тип-s инверс-осей повсеместен во всех сингониях с четными осями симметрии и центрами симметрии. При совпадении этих двух факторов инверс-оси типа-s присутствуют в обязательном порядке. То есть, в этом типе остается еще пока неясной только ситуация с тригональной сингонией.

А вот с инверс-осями типа-i проблема пока что более скрытна – выше она разбиралась только по тетраэдру с его двойными осями, и простой, и инверсионной. Да и более того, распространено мнение, что инверсионная ось тетраэдра, по сути, является единственной достойной внимания, а все остальные порядки инверсионной оси этого типа могут быть заменены комбинациями простых элементов симметрии, примерно так же, как здесь показано относительно инверс-осей типа-s . Остается проверить это.

Начнем эту проверку с прохода по четным осям, поскольку именно с четной оси (двойной) и началось это рассмотрение, и еще потому, что, как выше только что показано, поведение инверс-осей типа-s уже однозначно известно именно в сингониях с четными осями. Тройную ось оставим напоследок, что бы в ней разобраться с инверс-осями обоих типов параллельно.

Итак, в призме с четверной осью (рис. 3-А), как уже рассмотрено выше, имеется центр симметрии, и осевой индекс при испытании ее на инверсионность будет (1-1-1) – инверс-ось типа-s. Теперь, по примеру тетраэдра, повернем какой-то один из базопинакоидов на 45° и построим новую фигуру уже на таких двух основаниях – с непараллельными их сторонами, назвав ее, скажем, квазипризмой (рис. 3-Б). Она при этом сохраняет простую ось 4-го порядка, но теряет центр симметрии, а на его месте, естественно, возникает центр инверсии. Проверим теперь ее на наличие инверсионной оси. Если всю фигуру целиком из ее начальной позиции (1) повернуть вокруг простой четверной оси на половинный для нее угол (45°), то нижний базопинакоид примет ориентировку верхнего, верхний – нижнего, боковые грани согласуются с ними, и полученная позиция (2) окажется центро-зеркальной копией исходной позиции. То есть, при ее инверсии все вернется точно в начальное положение.

Итак, индекс (1-2-1) однозначно доказал наличие оси типа-i, причем четверной с углами поворота 45°, 135°, 225°, 315°. А учитывая, что и простая четверная ось здесь так же дает четыре своих позиции совмещения фигуры (углы – 90° , 180° , 270°, 360°), то всего таковых позиций получаем уже восемь. Выходит, согласно ныне применяемой терминологии осей, надо говорить о восьмерной инверсионной оси (в типе-i), что для кристаллографической практики звучит мало привлекательно.

Тут и вправе возникнуть сомнение – может действительно эта ситуация приемлема вообще для теории симметрии в целом, но вот для кристаллического мира из-за такой, как бы восьмерной, оси она и не подходит. Для ответа на этот вопрос продолжим ее боковые грани до их взаимного пересечения и получим четырехгранный трапецоэдр – вполне адекватную фигуру кристаллических структур. И поскольку оказывается, что квазипризма на рис. 3-Б есть всего лишь трапецоэдр, усеченный с двух концов базопинакоидами, то при описанном преобразовании симметрия не изменяется – остается точно такой же, как и у квазипризмы, т.е. с четверной инверсионной осью и восемью позициями повторяемости.

Очевидно, шестерную ось уже не обязательно рассматривать столь пристально – строить ее квазипризму и т.д. И так понятно, что с ней повторится все то же самое, только с другими (своими) углами поворота и с суммой в 12 позиций повторяемости. Таким образом, инверсионная ось типа-i, т.е. аналогичная тетраэдру, уверенно продолжается на все четные оси.

Теперь возникает терминологический вопрос – каким порядком обозначать инверсионные оси. Вообще-то, терминология – это только вопрос договоренности, а не дихотомия правильно-неправильно. И вот тут появилось два варианта. Один, предлагаемый здесь, – обозначать истинный порядок инверсионной оси, всегда равный порядку простой оси, с ней связанной. И при инверс-осях типа-i число позиций повторяемости суммируется по обоим совпадающим осям (простой и инверсионной), т.е. удваивается. При этом порядок осей остается без изменения, т.е. для мира кристаллов он, как и положено, не превысит шестого порядка.

Другой вариант – традиционный, общепринятый – обозначать порядок инверсионной оси удвоенной цифрой, по сумме позиций повторяемости обеих осей. Здесь нет настроя его опровергать (еще раз: терминология – это только договоренность, и не более того), но тогда возникает необходимость принять существование в кристаллах восьмерных и двенадцатикратных инверсионных осей. Далее тут все-таки продолжим вариант терминологии без таковых, т.е. без суммирования порядков двух осей.

Ситуация с нечетными инверсионными осями.

В кристаллическом мире эти оси ограничены, по сути, только тройной осью. Плюс к ней в теоретических наработках фигурирует еще и единичная ось.

Трехгранная призма отличается от призм с четными осями отсутствием центра симметрии, и, соответственно, появлением в ней центра инверсии, плюс к этому еще и наличием тройной инверс-оси типа-i (рис. 4-А).

Нужно еще отметить, что тут нечетная ось-i (в отличие от таковых же четных) сочетается с поперечной плоскостью симметрии. Это понадобится нам далее, а здесь инверсионные построения никак не зависят от данной плоскости.

Вполне видно, что в простой трехгранной призме (рис. 4-А) ось инверсии работает при повороте на углы 60°, или 180°, или 300° (считая от начального нулевого положения), и ее схема при любом таком повороте (1-2-1), т.е. это, действительно, нормальный тип-i . И удваивание тоже наличествует – простая ось в ней же добавляет еще три позиции повторения при углах поворота в 120°, 240°, 360°. Итак, при тройной оси именно в призме, а так же в согласованных с ней по симметрии тригональной и дитригональной бипирамидах, проявляется инверсионная ось типа-i .

А вот при развороте одного из пинакоидов на 60°, в получившейся квазипризме (рис. 4-Б) появляется центр симметрии, и ось инверсии здесь полностью повторяет обычные углы поворота простой оси, т.е. действует по типу-s со схемой (1-1-1). Та же картина симметрии останется при преобразовании квазипризмы в ромбоэдр путем продолжения ее боковых граней. То есть, здесь соотношение типов инверсионных осей с габитусом кристаллических тел получается прямо обратным относительно фигур с четными инверс-осями.

В кристаллической среде тройная ось является наивысшим порядком среди осей нечетного ряда, но в общей теории симметрии в целом пятерная ось и все дальнейшие нечетные – будут подчиняться такой же закономерности.

Добавление о единичной инверсионной оси.

Последнее, что осталось рассмотреть в цикле сопоставления инверсионных осей – это единичную ось, занимающую некое особое положение, т.к. она, в отличие от осей более высоких порядков, не привязана к какому то определенному месту фигуры.

Простой осью первого порядка (т.е. единичной) является вообще любая прямая для любого тела, хоть бы и находящаяся в стороне от него, ибо при обороте на 360° все возвращается на свое место, независимо от того, вокруг чего обращалось. Если в каком-то теле имеется центр симметрии, то любая прямая, кроме своего неотъемлемого качества простой оси первого порядка, еще является и инверсионной осью типа-s , тоже единичной, поскольку дает тот же самый индекс (1-1-1) – сначала при повороте на 360° (вокруг любой прямой) и затем при инверсии относительно своего центра симметрии.

Вопрос с единичной инверсионной осью типа-i несколько сложней, потому что инверсионный центр на ней не может быть произвольным. По его определению, сформулированному выше, он совпадает с геометрическим центром многогранника, проще говоря, с серединой совместной оси (простой и инверсионной). Здесь этот подход не применим – единичная ось не привязана к конкретному месту фигуры. Выход найдется, если учесть, что нечетные инверсионные оси типа-i (тройная – в сфере кристаллов и все прочие – в общей теории симметрии) всегда сопровождаются поперечной плоскостью симметрии. Значит, единичная инверсионная ось данного типа тоже должна сопровождаться поперечной плоскостью, и тогда центр инверсии определится как точка их пересечения.

При этом, инверсионная единичная ось типа-i тоже имеет свободу своего положения – хоть внутри фигуры, хоть вне ее, но в отличие от типа-s она все же ограничена в выборе направления, т.к. должна быть перпендикулярна к плоскости симметрии. На рис. 5 показана как раз возможность ее внешнего положения относительно фигуры. Итак, из исходного положения фигуры (позиция 1) следует поворот на половину угла оборота простой единичной оси (360° : 2 = 180° ), т.е. переход на позицию (2) и затем обращение по центру инверсии снова на позицию (1). В результате получили индекс (1-2-1), четко доказывающий наличие инверсионной оси типа-i , причем именно единичной, т.к. возврат инверсией в исходную позицию (1) возможен для нее только с единственной позиции (180°). Других таких аналогичных позиций, с которых можно было бы еще инвестироваться в позицию 1 (второй, третьей, и т.д.), у нее здесь попросту нет. Ну а в сумме опять же получается удвоение позиций единичной оси – одна позиция от простой оси (360°), и одна от инверсионной (180°).

Возврат к предельным симметриям.

Теперь можно вернуться к начальному вопросу о виде предельной симметрии для инверсионной оси, поскольку выявлено, что таковая представлена не единичным случаем, а всеми возможными ее порядками – от единичной до шестерной в кристаллах, и вообще до бесконечно-мерной в общей теории симметрии, причем это справедливо для обоих ее типов.

Инверс-оси типа-s, очевидно, не нуждаются в особых видах предельной симметрии. Поскольку их операции полностью и однозначно совпадают с операциями простых элементов симметрии, то они хорошо вписываются в те же цилиндрические формы соответствующих предельных симметрий Кюри.

Иная ситуация с инверс-осями типа-i – они никак не сводятся к операциям с другими элементами симметрии. Более того, такие оси потребовали введения нового, дополнительного элемента симметрии – центра инверсии. Видимо, он и должен быть указателем для выбора вида предельной симметрии.

По шубниковским типам движений (см. рис.1) все фигуры верхней строки плюс к ним аксиальный тензор из средней строки уже разобраны по группам простых осей. Остаются только два тензора – полярный и полярно-аксиальный. К ним и стоит присмотреться.

В динамике полярный тензор характеризует процессы, действие которых направлено в противоположные стороны, в частности, например, растяжение-сжатие и др., а в статике, как показано ранее (10, 11) он отражает результат действия такого диаметрально разнонаправленного процесса с центральной плоскостью или же с точкой, от которых в противоположные стороны и фиксируются изменения разного рода. Примеры, приведены в (10, 11) – структура зонального метаморфизма или, на минеральном уровне иерархии, двойники типа песочных часов. В симметрийных операциях сходное преобразование, с ориентировкой в противоположные стороны, исполняет как раз инверсионный центр – именно он и только он. Поэтому представляется вполне правомерным выставить полярный тензор в качестве предельной симметрии структур с инверсионными осями типа-i (рис. 6-А).

Причем собственно полярный тензор (т.с., таковой в чистом виде) закрывает предел для структур симметричного облика – имеющих продольные плоскости симметрии, т.е. относящихся к планально-инверсионной ступени симметричности. Это собственно тетраэдр, а так же и остальные фигуры, показанные в данной статье.

Тут может возникнуть возражение – у полярного тензора есть центр симметрии, а инверсионные оси типа-i в принципе не имеют такового, и это при начальном взгляде может показаться неодолимым препятствием для такого сопоставления. Однако, эта проблема снимается как раз тем, что полярный тензор – это структура предельного вида. К такому же центру симметрии мы придем, рассматривая инверсионные оси все более и более высоких порядков, когда цифра их порядка стремится к бесконечности. В самом деле – при каждом шаге увеличения порядка инверсионной оси первичный угол ее поворота постоянно уменьшается, в пределе стремясь к нулю. И в этом пределе, при нулевом угле поворота, центр инверсии превратится в центр симметрии, потому он как раз и имеется у полярного тензора как структуры предельного вида. Так и снимается проблема отличия инверс-осей типа-i от полярного тензора из-за наличия у последнего центра симметрии.

Что касаемо фигур с инверсионной осью типа-i, но без продольных плоскостей (инверсионная ступень симметрии), то для них в качестве предельного вида симметрии, вероятно, подойдет полярно-аксиальный тензор (рис. 6-Б), так же не имеющий продольных плоскостей. Хотя тут могут быть и какие-то другие варианты.

Заключение.

Понятие “инверсионные оси” не ограничивается пятью их конкретными разностями отличающихся порядков (от единичного до шестерного), к тому же с выделением из них только одной, уникальной инверс-оси. Существуют два четко обособленных типа инверсионных осей – тип-i и тип-s, каждый из которых охватывает все существующие поворотные порядки осей – от единичного до шестерного в кристаллической системе и по всему множеству целых чисел в общей теории симметрии. Оба типа инверс-осей всегда совпадают с простой неполярной осью – как пространственно (т.е. попросту сливаются с ней), так и своим порядком, т.е. числом фиксируемых поворотов в каждом порядке. И наоборот – любая неполярная ось всегда связана с инверсионной осью или того или другого типа. Стерильными от инверсионных осей являются исключительно полярные оси, т.е. структуры двух ступеней симметричности – полярной и планальной.

Наиболее четкое отличие указанных типов друг от друга определяет центр симметрии – он всегда отсутствует в типе-i, и в обязательном порядке наличествует у типа-s. Далее они отличаются еще и характером связи с простыми элементами симметрии – тип-s всегда полностью повторяет операции с таковыми, а тип-i с их операциями не связан – он всегда выступает самостоятельно. Следствием этого является удвоение позиций повторяемости простой (неполярной) оси при ее слиянии с инверс-осью типа-i. И, наоборот, при типе-s удваивания нет – позиции повторяемости совпадают с таковыми простой оси. Оба типа инверсии являются двухступенчатыми – поворот вокруг оси и обращение относительно некоего центра. Этим центром для типа-s всегда служит центр симметрии, а для типа-i для этого вводится особый элемент симметрии – центр инверсии.

Из всего комплекса различий указанных типов инверсионных осей следует, что и виды предельных симметрий для них так же должны быть четко отличными друг от друга. Тип-s, в своем пределе характеризуется так же как и обычные фигуры классической кристаллографии. Тип-i, в силу всех своих особенностей, требует иного подхода. В качестве предельных симметрий для него предлагаются тензоры – полярный и полярно-аксиальный.

———————————————————–

Список литературы

1. Кюри П. // Избранные труды. М.; Л.: Наука, 1966. С. 95.
2. Шубников А. В. // Успехи физ. наук. 1956. № 59. С. 541.
3. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. 640 с.
4. Levin B. // Crystallography Reports, 2023, Vol. 68, No. 7, pp. 1023. https://doi.org/10.1134/S1063774523600825
5. Левин Б. // Кристаллография, 2024, том 69, № 3. С. 382. https://doi.org/10.31857/S0023476124030026
6. Шубников А.В. // Изв. АН СССР, сер. физ. 1949, т.13, №3. С. 347.
7. Шаскольская М.П. Кристаллография. М., Высшая школа, 1976. 345 с.
8. Ворошилов Ю.В., Павлишин В.И. Основы кристаллографии и кристаллохимии. Рентгенография кристаллов. К .: КНТ, 2011. 568 с.
9. Шубников А. В. // Доклад на 7-й генерал. ассамблее Международного союза кристаллографов. М., Наука, 1966. 28 с.
10. Левин Б. Труды Ферсмановской научной сессии ГИ КНЦ РАН- Апатиты, 2021. С.258. https://doi.org/10.31241/FNS.2021.18.048
11. Левин Б. Тез. докл. Годичное собрание РМО и Федоровская сессия. 2023 г. СПб. 2023. С. 293. https://doi.org/10.30695/zrmo/2023.147

======================================

[1] Другой вариант этого же определения: Если в фигуре каждая ее точка имеет точку-антипода, то в такой фигуре имеется центр симметрии, расположенный в точке пересечения всех линий, соединяющих антиподальные точки. Это определение и предыдущее – взаимозаменяемы и выводятся друг из друга.

[2] Может даже стоит сказать – антисимметричное отражение, хотя оно, может, и не полностью совпадает с понятием антисимметрия А.В.Шубникова [9].

[3] При этом не надо путать с введенным выше понятием “точка инверсии”, которая может совпадать и с тем, и с другим, как и не совпадать ни с каким, ибо ни к чему не привязана – ее выбор произволен

[4] Этот пункт не противоречит пункту об удвоении позиций повторяемости для осей типа-i . Здесь речь идет о собственных позициях повторяемости инверсионной оси, а не о сумме таковых вместе с позициями простой оси. Правда, в нынешней кристаллографической практике порядок инверсионной оси указывается не собственный, а уже удвоенный, но для данной разработки этот вариант обозначения порядка плохо подходит, что и будет показано далее.